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La storia dell’individuazione di una corrente nel fiume

Silvana, in cerca di un momento di pace, si siede sulla riva di un torrente che scorre vivace tra rocce e radici. La sua mente associativa-intuitiva è in sintonia con l’ambiente circostante, assorbendo il dolce mormorio dell’acqua, il fruscio delle foglie sugli alberi e il profumo dell’erba fresca.

Mentre osserva il fiume, la donna nota delle sottili variazioni nella superficie dell’acqua. In alcuni punti, l’acqua sembra incresparsi leggermente, mentre in altri scorre liscia ed uniforme. La sua mente associativa-intuitiva inizia a tessere connessioni tra queste osservazioni, suggerendo l’idea di un flusso nascosto sotto la superficie apparentemente calma – input sensoriale e riconoscimento di pattern.

Cerca di dare un nome a questa intuizione. “Corrente”, pensa. Ma cosa definisce esattamente una corrente? Ricorda le sue conoscenze di base sull’idrologia: una corrente è un flusso d’acqua direzionale all’interno di un corpo idrico più grande. Silvana inizia a osservare con maggiore attenzione, cercando di individuare un movimento coerente e direzionale dell’acqua – definizione di criteri e applicazione di regole.

Inizialmente, la donna fatica a distinguere un flusso definito. La mente logico-simbolica invia un feedback alla mente associativa-intuitiva: “Non vedo un movimento chiaro, forse le increspature sono solo causate dal vento?”. Silvana, stimolata da questa sfida, si concentra ancora di più. Stacca un fiore selvatico e lo lascia cadere delicatamente sull’acqua – feedback e raffinamento.

Il fiore inizia a muoversi lentamente, seguendo un percorso sinuoso ma definito. La donna ha trovato la sua corrente! La mente logico-simbolica gioisce, assegnando un nome a questa scoperta: “La corrente nascosta” – assegnazione di un simbolo.

La nostra esploratrice ha completato il processo di individuazione, trasformando un’intuizione fugace in una consapevolezza tangibile. La sua mente associativa-intuitiva ha fornito gli input sensoriali e i pattern iniziali, mentre la sua mente logico-simbolica ha guidato l’osservazione, definito i criteri e assegnato un simbolo alla scoperta. L’interazione armoniosa tra le due menti ha permesso alla donna di connettersi più profondamente con la natura e di apprezzare la sua complessità nascosta.

La storia dell’individuazione di una stella nella notte

Olmo, appassionato di astronomia fin da bambino, trascorre una notte serena in montagna, lontano dalle luci della città. Il suo telescopio è puntato verso il cielo stellato, e la sua mente associativa-intuitiva è inebriata dalla vastità del cosmo. Migliaia di stelle scintillano sopra di lui, creando un arazzo luminoso di immensa bellezza.

1. Input sensoriale e riconoscimento di pattern: Mentre esplora il cielo, Olmo nota una stella che sembra brillare con una luce leggermente diversa dalle altre. È un rosso intenso, quasi cremisi, che spicca tra il bianco e il blu delle stelle circostanti. La sua mente associativa-intuitiva registra questa differenza, creando un’immagine mentale distinta di questa stella particolare.
2. Definizione di criteri e applicazione di regole: La mente logico-simbolica di Olmo si mette in moto. Vuole identificare questa stella, darle un nome, collocarla nel contesto della sua conoscenza astronomica. Consulta le mappe stellari, confronta la posizione della stella con le costellazioni note, analizza il suo colore e la sua luminosità.
3. Feedback e raffinamento: Inizialmente, Olmo fatica a trovare una corrispondenza esatta. La mente logico-simbolica invia un feedback alla mente associativa-intuitiva: “Non trovo questa stella sulle mappe, forse è una supernova o una stella variabile?”. Olmo, incuriosito, approfondisce la sua ricerca, consultando cataloghi stellari online e confrontando le sue osservazioni con le informazioni disponibili.
4. Assegnazione di un simbolo: Finalmente, Olmo trova la sua stella. È una gigante rossa, una stella nella fase finale della sua evoluzione, destinata a espandersi e a diventare ancora più luminosa prima di spegnersi lentamente. Olmo, emozionato, assegna un nome a questa scoperta: “La Gigante Cremisi”.

Olmo ha completato il processo di individuazione esatta, identificando una stella specifica tra le migliaia che popolano il cielo notturno. La sua mente associativa-intuitiva ha fornito l’input sensoriale e l’immagine iniziale, mentre la sua mente logico-simbolica ha guidato la ricerca, applicato criteri precisi e assegnato un nome univoco alla stella. L’interazione tra le due menti ha permesso a Olmo di espandere la sua conoscenza dell’universo e di sentirsi parte di qualcosa di infinitamente più grande.

Matematizzazione

L’esperienza di Olmo, caratterizzata da un’osservazione precisa e da criteri di identificazione oggettivi, si presta maggiormente alla matematizzazione e alla formulazione di proposizioni che utilizzano i quantificatori “per ogni” ed “esiste”.

Olmo, avendo identificato la “Gigante Cremisi” in modo univoco, potrebbe formulare affermazioni come:

• Esiste una stella nel cielo notturno che ha un colore rosso intenso e si trova in una specifica posizione (coordinate celesti).
• Per ogni stella gigante rossa, la sua luminosità è maggiore di quella di una stella nana rossa.

Queste proposizioni si basano sull’individuazione precisa della stella e sulle sue proprietà misurabili, permettendo un ragionamento logico-matematico rigoroso.

L’esperienza di Silvana, al contrario, è più sfuggente e meno definita. La “corrente nascosta” è stata individuata attraverso un’osservazione più qualitativa e un processo di esplorazione graduale. Sebbene Silvana abbia acquisito una conoscenza concreta della corrente, questa conoscenza è meno precisa e misurabile rispetto a quella di Olmo sulla stella.

Formulare proposizioni matematiche rigorose in questo contesto è più complesso. Ad esempio, dire “Esiste una corrente nel fiume” è corretto, ma non cattura la sfumatura dell’esperienza di Silvana, che ha individuato una corrente specifica ma non facilmente quantificabile. Allo stesso modo, affermare “Per ogni punto del fiume, la velocità dell’acqua è maggiore nella corrente” sarebbe un’eccessiva semplificazione, poiché la corrente potrebbe avere bordi sfumati e la sua velocità potrebbe variare.

La necessità di nuovi strumenti

L’esperienza di Olmo, basata sull’individuazione esatta, fornisce una base solida per la matematizzazione e l’utilizzo di quantificatori. L’esperienza di Silvana, invece, ci ricorda che la realtà spesso presenta sfumature e complessità che sfidano la precisione matematica. In questi casi, potremmo aver bisogno di strumenti matematici più flessibili per catturare l’essenza dell’esperienza e del ragionamento umano in modo più completo.

L’approccio indiretto di Silvana, basato su come interagire sull’ipotetica entità, è, a mio avviso, la chiave per arrivare a definire strumenti più adatti a descrivere la complessità del mondo reale.

Ecco un assaggio: dall’uguaglianza, passiamo alla confondibilità.

Confondibilità

Diciamo che due entità sono “confondibili” se e solo se interagiscono allo stesso modo, nei limiti della nostra sensibilità. Si noti che i presupposti sono vari:

1. le due entità sono individuate, altrimenti non potremmo nominarle come tali;
2. il concetto di interazione dev’essere già stato definito;
3. lo stesso dicasi per il concetto di sensibilità o precisione.

Il pregio di questa relazione è che getta un ponte tra la matematica basata sull’individuazione e quella che stiamo cercando di definire, basata sull’interazione.

Mi limito qui di seguito ad illustrare la confondibilità e la sua differenza con l’uguaglianza nel caso di una struttura algebrico – topologica e rinvio ad altro articoletto ulteriori sviluppi.

Confondibilità ed uguaglianza in un campo ordinato

Esploriamo come la struttura di campo ordinato si trasforma quando sostituiamo l’uguaglianza legata all’ordinamento con la confondibilità, mantenendo l’uguaglianza classica negli assiomi algebrici. Useremo il simbolo ≈ (simbolo di uguaglianza ma ondulato) per indicare la confondibilità.

Definizione originale di campo ordinato

Un campo ordinato è un insieme F dotato di due operazioni binarie, addizione (+) e moltiplicazione (·), e di una relazione d’ordine totale (≤) che soddisfa i seguenti assiomi:

Assiomi di campo

1. Chiusura rispetto all’addizione e alla moltiplicazione:
   • Per ogni a, b ∈ F, a + b ∈ F e a · b ∈ F.
2. Associatività dell’addizione e della moltiplicazione:
   • Per ogni a, b, c ∈ F, (a + b) + c = a + (b + c) e (a · b) · c = a · (b · c).
3. Commutatività dell’addizione e della moltiplicazione:
   • Per ogni a, b ∈ F, a + b = b + a e a · b = b · a.
4. Esistenza dell’elemento neutro per l’addizione e la moltiplicazione:
   • Esiste un elemento 0 ∈ F tale che per ogni a ∈ F, a + 0 = a.
   • Esiste un elemento 1 ∈ F, diverso da 0, tale che per ogni a ∈ F, a · 1 = a.
5. Esistenza dell’opposto per l’addizione e dell’inverso per la moltiplicazione:
   • Per ogni a ∈ F, esiste un elemento -a ∈ F tale che a + (-a) = 0.
   • Per ogni a ∈ F, a ≠ 0, esiste un elemento a⁻¹ ∈ F tale che a · a⁻¹ = 1.
6. Distributività della moltiplicazione rispetto all’addizione:
   • Per ogni a, b, c ∈ F, a · (b + c) = (a · b) + (a · c).

Assiomi dell’ordine totale

1. Riflessività: Per ogni a ∈ F, a ≤ a.
2. Antisimmetria: Per ogni a, b ∈ F, se a ≤ b e b ≤ a, allora a = b.
3. Transitività: Per ogni a, b, c ∈ F, se a ≤ b e b ≤ c, allora a ≤ c.
4. Totalità: Per ogni a, b ∈ F, a ≤ b oppure b ≤ a.

Assiomi che collegano campo e ordine

1. Compatibilità dell’addizione con l’ordine: Per ogni a, b, c ∈ F, se a ≤ b, allora a + c ≤ b + c.
2. Compatibilità della moltiplicazione con l’ordine: Per ogni a, b ∈ F, se 0 ≤ a e 0 ≤ b, allora 0 ≤ a · b.

Nuova definizione con confondibilità

Ora, sostituiamo l’uguaglianza negli assiomi dell’ordine con la confondibilità (≈):

Assiomi dell’ordine totale (modificati)

Si tratta di sostituire = con ≈ nell’assioma sull’antisimmetria.

2. Antisimmetria (modificata): Per ogni a, b ∈ F, se a ≤ b e b ≤ a, allora a ≈ b.

Quando si usa il simbolo = s’intende intercambiabilità. In altri termini se a=b allora in ogni espressione possiamo sostituire a con b o viceversa senza alterarne il significato. Di qui si deduce che.

a = b → a ≈ b

Interpretazione della nuova struttura

In questa nuova struttura, due elementi possono essere considerati “confondibili” rispetto all’ordine se sono “sufficientemente vicini” l’uno all’altro, entro un certo margine di tolleranza. Questo introduce un grado di incertezza o approssimazione nella relazione d’ordine.

Conseguenze

• La nozione di unicità potrebbe essere indebolita. Potrebbero esistere più elementi “confondibili” tra loro rispetto all’ordine, ma non necessariamente uguali nel senso algebrico classico.
• La struttura topologica indotta dall’ordine potrebbe essere meno precisa. Invece di avere punti distinti, potremmo avere “regioni di confondibilità” in cui gli elementi sono indistinguibili rispetto all’ordine.
• Questa nuova struttura potrebbe essere utile per modellare situazioni in cui l’ordine è intrinsecamente impreciso o soggetto a fluttuazioni, come misurazioni con una certa precisione o sistemi dinamici con piccole perturbazioni.

Esempio

Proviamo a costruire un piccolo esempio inerente la misurazione di temperature, in cui due elementi sono confondibili ma non uguali, nel contesto di un campo ordinato con confondibilità.

Immaginiamo di avere un termometro che misura la temperatura con una precisione di ±0.5°C. Consideriamo due misurazioni:

• a = 20.2°C
• b = 20.7°C

In questo caso, a ≠ b perché le due misurazioni hanno valori numericamente diversi. Tuttavia, a causa della precisione limitata del termometro, potremmo considerare a e b confondibili (a ≈ b) rispetto all’ordine.

Questo perché la differenza tra le due misurazioni (0.5°C) rientra nel margine di errore dello strumento. Quindi, ai fini pratici, potremmo considerare queste due temperature come “quasi uguali” o indistinguibili, anche se non sono esattamente identiche.

Per formalizzare questa idea, potremmo definire la confondibilità in questo contesto come segue:

• a ≈ b se e solo se |a - b| ≤ 0.5

In altre parole, due misurazioni sono confondibili se la loro differenza assoluta è minore o uguale alla precisione del termometro.

Osservazioni

• Questo esempio illustra come la confondibilità possa emergere in situazioni in cui l’ordine è intrinsecamente impreciso o soggetto a fluttuazioni, come nel caso di misurazioni con strumenti di precisione limitata.
• La definizione precisa di confondibilità dipenderà dal contesto specifico e dal grado di precisione desiderato. In alcuni casi, potremmo voler utilizzare un margine di tolleranza diverso da 0.5°C.
• È importante notare che, anche se a ≈ b, potremmo comunque avere f(a) ≠ f(b) per alcune funzioni f. Ad esempio, se f(x) = x², allora f(a) = 408.04 e f(b) = 428.49, che non sono confondibili secondo la nostra definizione. Questo dimostra che la confondibilità non garantisce l’intercambiabilità assoluta in tutte le espressioni, a differenza dell’uguaglianza classica.

Osservazioni finali

• La definizione precisa di “confondibilità” dipenderà dal contesto specifico e dal grado di precisione desiderato.
• Questa nuova struttura apre questioni matematiche sulla sua relazione con la struttura di campo ordinato classica e sulle sue possibili applicazioni.

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Immagine di copertina generata con Midjourney, il prompt è mio.